Убедитесь, что iCloud включен и работает в обычном режиме.
При заходе в игру, авторизируйтесь в Game Center, если игра предложит Вам такую возможность. Но обычно, это происходит автоматически.
После этого, Ваш игровой прогресс будет сохраняться каждые 45 секунд.